如何想象诸如超立方体之类的四维空间物体？ - Mandelbrot的回答
我们生活在三维空间，确实很难想象四维空间，因为我们无法想象，那一根和X, Y, Z轴都垂直的第四根坐标轴应该指向什么方向。不过，还是有一些方法可以让我们对第四维有一些直观的感受。
我们能够直观认识的只有三维以及三维以下的物体。所以，要认识四维物体，一个很好的方法是分析它和三维空间相互作用时表现出的行为。然而，四维物体在三维空间中常常有一些令人费解的怪异行为。要理解这些行为，我们需要参考三维物体在二维空间中的行为。
我们来看看四维的立方体：超立方体。
（下面的图片都来自http://www.math.union.edu/~dpvc/math/4d/welcome.html。知乎不能贴动图，所以我只能多贴几张图来表示变化过程。如果你有兴趣，建议去这个网页上看看动画过程）
1. 制造超立方体
从二维的正方形开始。正方形是一个二维图形。如果把它沿着第三个维度运动，我们就可以得到一个三维的立方体。一个立方体有6个面，其中底面和顶面是原来的正方形开始和结束的位置，侧面的四个正方形是它在运动过程中产生的。
不要忘记，你看到的并不是真正的立方体（平面的电脑屏幕上不能显示三维），而是三维立方体在二维平面上的投影，所以有很多平面是彼此重叠的。
采用同样的方法，如果我们让这个立方体沿着第四个维度运动，就可以得到一个四维的超立方体。当然，这里的第四维的方向只是一个示意，我们没有办法真的指向这个方向。
和三维立方体的6个面相对应，这样一个超立方体包含8个三维立方体。
其中立方体1和2是原来的三维立方体开始和结束的位置，其他6个立方体都是这个立方体在移动过程中产生的。
同样，你看到的其实是四维超立方体在三维空间的投影（在二维平面上的投影），所以很多立方体（和面）都是彼此重叠的。
2. 展开超立方体
三维立方体有6个面，我们可以把这6个面展开，变成一个二维图形。
通过观察展开过程在二维平面上的投影，我们可以想象出这个三维物体的展开过程。从上面这个例子可以看出，当二维图形在三维空间中转动的时候，它在二维平面上的投影会变形。
同样，四维超立方体也可以展开它的8个立方体，成为一个三维物体。我们无法直接从四维观察这个展开过程，但是可以观察这个展开过程在三维空间的投影。
看起来这些三维立方体在展开的过程中都发生了变形。但是，参考上面立方体展开的例子，我们知道，这是由于立方体在第四维上转动，导致三维投影变形。
3. 当超立方体穿过三维空间
二维平面上的生物无法看到完整的三维立方体，但是，当一个三维立方体从二维平面上穿过的时候，它们可以看到不断变化的二维图形。如果它们有足够的想象力，就可以想象出三维立方体的一些特点。
立方体可以以不同的角度穿过三维空间。
3.1 面优先的穿越方式
如果三维立方体以面优先的方式穿过二维平面，二维平面的生物会看见一个正方形突然出现，然后突然消失。这无疑是一种十分无趣的方式。
就像二维平面的生物无法看到三维立方体一样，我们无法看到四维的超立方体。但是，当超立方体经过我们的三维空间的时候，我们会看到它和三维空间重合的部分。这样的重合部分是各种形状的三维图形。
如果一个超立方体以相同的方式进入三维空间，我们会看到下面的情景：
图中的淡蓝色部分就是四维超立方体和我们的三维空间重合，能够为我们所见的部分。
3.2 边优先的穿越方式
如果三维立方体以边优先的方式穿过二维平面，二维生物会看见一条线扩展成一个不断变大的长方形，然后长方形缩小，最后消失的过程。
也许你看出来了，这个过程和超立方体以面优先方式穿过三维空间的情形有些相似。
如果四维超立方体以相同的方式穿过三维空间，我们会看到以下情景：
3.3 角优先的穿越方式
如果三维立方体以角优先的方式穿过二维平面，二维生物会看见一个不断变大的三角形，然后变成六边形，在变回三角形，最后消失的过程。
同样，这个过程和超立方体以边优先方式穿过三维空间的情形有些相似。
如果超立方体以相同的方式穿过三维空间，我们会看到：
不知道上面的例子有没有帮助你想象超立方体。最后我们来看看另一个四维空间中的奇特物体：克莱因瓶。
同样，要理解四维空间中的克莱因瓶，我们需要参考它在低维度的对应形状——莫比乌斯带。
图片来自https://en.wikipedia.org/wiki/M%C3%B6bius_strip
关于莫比乌斯带的有趣的特性，请阅读我叠了一个莫比乌斯带，二维生物是什么样的感觉？ - Mandelbrot 的回答，这里就不重复了。
莫比乌斯带是这样做出来的。首先，取一张纸条，在两边画上方向相反的箭头。
然后，把两端连接起来，使两个箭头在连接处指向相同的方向。
我们可以先尝试在二维平面内连接纸条的两端。
显然，在二维平面内，我们无法达到目的。两个箭头方向总是相反的。为了让两个箭头指向相同的方向，我们必须把纸条的一段翻转。
然而，这种翻转在二维空间中是无法实现的，必须在三维空间中进行。这个例子说明，莫比乌斯带只能存在于三维空间。
现在你看到的是莫比乌斯带在二维平面上的投影。当一个二维生物观看这个投影的时候它会发现难以理解的现象：这个二维投影的面和边都是彼此重叠的。
现在来看看莫比乌斯带的升级版：克莱因瓶。我们同样从一个二维的长方形开始。
（注：下面的图片都来自Klein bottle）
这一次，我们在长方形的四个面都画上箭头：
红色箭头方向相同，蓝色箭头方向相反。我们的目的和前面一样，连接相同颜色的边，让连接处箭头方向相同。
红色箭头很容易处理，我们只需要把纸卷起来，做成一个圆筒就行了。
然后，把圆柱体弯过来，以便和另一端连接。
到这里，我们可以看到，如果简单的把两端连接，蓝色箭头的方向使相反的，没有达到我们的目的。
所以，正确的方法是让圆柱从自己表面钻进去，然后以下图的方式连接。
这样，我们就得到了一个克莱因瓶。
莫比乌斯带有一条边，而克莱因瓶更加完美，它没有边。但是上面这个克莱因瓶却并有一个缺点，它必须在自己的表面打一个洞钻进去。其实，它并不是真正的克莱因瓶。真正的克莱因瓶是没有洞的，它通过第四个维度进入自己内部。
所以，克莱因瓶只能存在于四维空间。上面的例子只是克莱因瓶在三维空间的投影。
克莱因瓶是如此的让人着迷，人们做出了各种形状的模型。
图片来自http://www.kleinbottle.com/
甚至把它做成帽子：
https://youtu.be/AAsICMPwGPY
再加上一条莫比乌斯围巾
https://youtu.be/AAsICMPwGPY
我也希望在冬天有这么一套数学发烧友的行头。
克莱因瓶还有一个有趣的性质：它是有两个莫比乌斯带组成的。如果你把一个克莱因瓶从中间切开，就可以得到两个互为镜像的莫比乌斯带。
https://youtu.be/I3ZlhxaT_Ko?list=PLt5AfwLFPxWIpgtcFs_7fHGUedGEKu73p
我们能够直观认识的只有三维以及三维以下的物体。所以，要认识四维物体，一个很好的方法是分析它和三维空间相互作用时表现出的行为。然而，四维物体在三维空间中常常有一些令人费解的怪异行为。要理解这些行为，我们需要参考三维物体在二维空间中的行为。
我们来看看四维的立方体：超立方体。
（下面的图片都来自http://www.math.union.edu/~dpvc/math/4d/welcome.html。知乎不能贴动图，所以我只能多贴几张图来表示变化过程。如果你有兴趣，建议去这个网页上看看动画过程）
1. 制造超立方体
从二维的正方形开始。正方形是一个二维图形。如果把它沿着第三个维度运动，我们就可以得到一个三维的立方体。一个立方体有6个面，其中底面和顶面是原来的正方形开始和结束的位置，侧面的四个正方形是它在运动过程中产生的。
不要忘记，你看到的并不是真正的立方体（平面的电脑屏幕上不能显示三维），而是三维立方体在二维平面上的投影，所以有很多平面是彼此重叠的。
采用同样的方法，如果我们让这个立方体沿着第四个维度运动，就可以得到一个四维的超立方体。当然，这里的第四维的方向只是一个示意，我们没有办法真的指向这个方向。
和三维立方体的6个面相对应，这样一个超立方体包含8个三维立方体。
其中立方体1和2是原来的三维立方体开始和结束的位置，其他6个立方体都是这个立方体在移动过程中产生的。同样，你看到的其实是四维超立方体在三维空间的投影（在二维平面上的投影），所以很多立方体（和面）都是彼此重叠的。
2. 展开超立方体
三维立方体有6个面，我们可以把这6个面展开，变成一个二维图形。
通过观察展开过程在二维平面上的投影，我们可以想象出这个三维物体的展开过程。从上面这个例子可以看出，当二维图形在三维空间中转动的时候，它在二维平面上的投影会变形。同样，四维超立方体也可以展开它的8个立方体，成为一个三维物体。我们无法直接从四维观察这个展开过程，但是可以观察这个展开过程在三维空间的投影。
看起来这些三维立方体在展开的过程中都发生了变形。但是，参考上面立方体展开的例子，我们知道，这是由于立方体在第四维上转动，导致三维投影变形。3. 当超立方体穿过三维空间
二维平面上的生物无法看到完整的三维立方体，但是，当一个三维立方体从二维平面上穿过的时候，它们可以看到不断变化的二维图形。如果它们有足够的想象力，就可以想象出三维立方体的一些特点。
立方体可以以不同的角度穿过三维空间。
3.1 面优先的穿越方式
如果三维立方体以面优先的方式穿过二维平面，二维平面的生物会看见一个正方形突然出现，然后突然消失。这无疑是一种十分无趣的方式。就像二维平面的生物无法看到三维立方体一样，我们无法看到四维的超立方体。但是，当超立方体经过我们的三维空间的时候，我们会看到它和三维空间重合的部分。这样的重合部分是各种形状的三维图形。
如果一个超立方体以相同的方式进入三维空间，我们会看到下面的情景：
图中的淡蓝色部分就是四维超立方体和我们的三维空间重合，能够为我们所见的部分。3.2 边优先的穿越方式
如果三维立方体以边优先的方式穿过二维平面，二维生物会看见一条线扩展成一个不断变大的长方形，然后长方形缩小，最后消失的过程。也许你看出来了，这个过程和超立方体以面优先方式穿过三维空间的情形有些相似。
如果四维超立方体以相同的方式穿过三维空间，我们会看到以下情景：
3.3 角优先的穿越方式
如果三维立方体以角优先的方式穿过二维平面，二维生物会看见一个不断变大的三角形，然后变成六边形，在变回三角形，最后消失的过程。
同样，这个过程和超立方体以边优先方式穿过三维空间的情形有些相似。
如果超立方体以相同的方式穿过三维空间，我们会看到：
不知道上面的例子有没有帮助你想象超立方体。最后我们来看看另一个四维空间中的奇特物体：克莱因瓶。
同样，要理解四维空间中的克莱因瓶，我们需要参考它在低维度的对应形状——莫比乌斯带。
图片来自https://en.wikipedia.org/wiki/M%C3%B6bius_strip
关于莫比乌斯带的有趣的特性，请阅读我叠了一个莫比乌斯带，二维生物是什么样的感觉？ - Mandelbrot 的回答，这里就不重复了。
莫比乌斯带是这样做出来的。首先，取一张纸条，在两边画上方向相反的箭头。
然后，把两端连接起来，使两个箭头在连接处指向相同的方向。
我们可以先尝试在二维平面内连接纸条的两端。
显然，在二维平面内，我们无法达到目的。两个箭头方向总是相反的。为了让两个箭头指向相同的方向，我们必须把纸条的一段翻转。然而，这种翻转在二维空间中是无法实现的，必须在三维空间中进行。这个例子说明，莫比乌斯带只能存在于三维空间。现在你看到的是莫比乌斯带在二维平面上的投影。当一个二维生物观看这个投影的时候它会发现难以理解的现象：这个二维投影的面和边都是彼此重叠的。
现在来看看莫比乌斯带的升级版：克莱因瓶。我们同样从一个二维的长方形开始。
（注：下面的图片都来自Klein bottle）
这一次，我们在长方形的四个面都画上箭头：
红色箭头方向相同，蓝色箭头方向相反。我们的目的和前面一样，连接相同颜色的边，让连接处箭头方向相同。红色箭头很容易处理，我们只需要把纸卷起来，做成一个圆筒就行了。
然后，把圆柱体弯过来，以便和另一端连接。
到这里，我们可以看到，如果简单的把两端连接，蓝色箭头的方向使相反的，没有达到我们的目的。
所以，正确的方法是让圆柱从自己表面钻进去，然后以下图的方式连接。
这样，我们就得到了一个克莱因瓶。莫比乌斯带有一条边，而克莱因瓶更加完美，它没有边。但是上面这个克莱因瓶却并有一个缺点，它必须在自己的表面打一个洞钻进去。其实，它并不是真正的克莱因瓶。真正的克莱因瓶是没有洞的，它通过第四个维度进入自己内部。
所以，克莱因瓶只能存在于四维空间。上面的例子只是克莱因瓶在三维空间的投影。
克莱因瓶是如此的让人着迷，人们做出了各种形状的模型。
图片来自http://www.kleinbottle.com/甚至把它做成帽子：
https://youtu.be/AAsICMPwGPY再加上一条莫比乌斯围巾
https://youtu.be/AAsICMPwGPY我也希望在冬天有这么一套数学发烧友的行头。
克莱因瓶还有一个有趣的性质：它是有两个莫比乌斯带组成的。如果你把一个克莱因瓶从中间切开，就可以得到两个互为镜像的莫比乌斯带。
https://youtu.be/I3ZlhxaT_Ko?list=PLt5AfwLFPxWIpgtcFs_7fHGUedGEKu73p